話不多說，我們直接給出即將證明的題目：命題1：不存在從  到  的連續(xù)雙射  這個問題是從以下問題自然聯(lián)想而來的：命題2：不存在從  到  的

話不多說，我們直接給出即將證明的題目：

命題1：不存在從 到 的連續(xù)雙射

這個問題是從以下問題自然聯(lián)想而來的：

命題2：不存在從 到 的連續(xù)雙射 ，其中 .

命題2的話直接考慮 為一個同胚，然后同時在 和 中挖去一個點，再考慮剩下兩集合的連通性即可，具體的說明在命題1的證明中也可以得到體現(xiàn)。下面還是著手來證明命題1。

命題1的證明：

反證法：假設(shè) 是從 到 的一個連續(xù)雙射。

現(xiàn)在對任意的正整數(shù) ，考慮將 限制在閉區(qū)間 上，并記 在這之上的像集為 。那么 從 映到 時也將作為一個連續(xù)雙射。注意到 是緊的， 具有Hausdorff性質(zhì)，因此 即是一個 到 的同胚。由此我們順便得到了 是閉的。

其次，我們再證明對每個正整數(shù) ， 均無內(nèi)點。否則，倘若存在正整數(shù) 使得 有內(nèi)點，即我們可以假設(shè)存在點 ，于是就存在 的一個開鄰域 滿足 。在 中取點 ，滿足 在 上的原像 使 是一個不連通的集合（事實上只需 ，而由于 中不可能只有兩個元素，故這樣的選取是可行的）。但考慮到 卻是一個連通集（甚至道路連通）。結(jié)合連續(xù)函數(shù) 恰把 映成 ，這就與連通性矛盾！這樣我們就證明了 內(nèi)部為空集。

最后，由于 ，故由連續(xù)雙射可得 。結(jié)合前面已經(jīng)得到了 內(nèi)部均為空，故由Baire綱定理可知 內(nèi)部也為空，但這顯然是矛盾的！

綜上，不存在從 到 的連續(xù)雙射。

（注：本證明想法來源于答主 @ChengAe ）