定積分定義在區間  上存在有界函數  ，存在任意的劃分方式滿足  ,且  ,  則若極限  存在，則在上黎曼可積，且該極限被稱為  在上的定積

定積分定義

在區間 上存在有界函數 ，存在任意的劃分方式滿足 ,且 , 則若極限 存在，則在上黎曼可積，且該極限被稱為 在上的定積分或黎曼和。

達布和

記

分別被稱之為達布大和和達布小和。

不難看出

易證增加劃分后大和不增，小和不減，且大和始終大于等于小和。

記 為全體達布和。則 ，分別記為L和l。

達布定理

對于任意 存在劃分 使得 ，記此劃分為 .令

當 ,取任意一個滿足的劃分 記為 。將 的劃分插入劃分。因為 ，對于任意一個 中最多只插入一個分點。且最多只有 個區間存在插入點。插入分點后，各區間相應項只差