①  不等式證明：  應用:當x>0,求證  只需證  即證  設函數     ,得  當  時， f'(x)單調遞減；當  時，f'(x)單調遞增由于  ,故f

①

不等式證明：

應用:

當x>0,求證

只需證

即證

設函數

,得

當 時， f'(x)單調遞減；當 時，f'(x)單調遞增

由于 ,故f'(x)在 只有一個零點

因為f(x)在 單調遞減， 單調遞增

所以

故原不等式成立

②

左邊證明:設b<a,不等式等價于證

兩邊平方得

構造函數

令

,當x>1時，g''(x)<0,g'(x)單調遞減，因為g'(1)=0,所以當x>1,g'(x)<0,g(x)單調遞減，因為g(1)=0,所以g(x)<0,所以f(x)單調遞減，因為f(1)=0,所以f(x)<0,故證明成立

應用：

, ,證明：

由題意得

得

故

右邊證明:

方法一：設b<a,不等式等價于證

構造函數

當x>1時，f'(x)>0,f(x)單調遞增，所以f(x)>f(1)=0,不等式成立

方法二：代換下，得

構造函數

只需證當b>a時，f(x)<0

當b>a,f''(x)<0,注意到f'(a)=f(a)=0，故證明成立

應用：這個不等式十分經典，廣泛出現在各種試題中

例題： 圖像上不同的兩點 , ,是否存在兩點A,B使得 處的切線平行于直線AB

解：假設存在兩點,

M點切線斜率

令 得

由不等式知道，顯然不成立

其他

③ 和

這個就不必多說了

由這個不等式可推

④當x>0,

求導就出來了

⑤

同樣求導得出