知乎上的加速器物理感覺內(nèi)容較少, 簡(jiǎn)單寫寫學(xué)習(xí)筆記. 帶電粒子在電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng), 中學(xué)的時(shí)候便開始學(xué)了，不過是運(yùn)動(dòng)方程的積分。理論

知乎上的加速器物理感覺內(nèi)容較少, 簡(jiǎn)單寫寫學(xué)習(xí)筆記. 帶電粒子在電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng), 中學(xué)的時(shí)候便開始學(xué)了，不過是運(yùn)動(dòng)方程的積分。理論上如果計(jì)算資源足夠豐富，計(jì)算得到的結(jié)果和實(shí)際相差無幾。而考慮到計(jì)算速度和束流設(shè)計(jì)，研究束流動(dòng)力學(xué)分為兩大類(我喜歡商業(yè)軟件TraceWin, 分析束流動(dòng)力學(xué)非常直觀方便)：

1.運(yùn)動(dòng)方程的直接積分，一個(gè)個(gè)粒子分別跟蹤，記錄每個(gè)粒子在電磁力下的運(yùn)動(dòng)，統(tǒng)計(jì)每個(gè)粒子的坐標(biāo)。程序例如zgoubi(可以跟蹤粒子自旋的變化), pyorbit, 以及warpx(伯克利實(shí)驗(yàn)室開發(fā)的,包含了空間電荷力的作用，pic算法，可以用來模擬激光等離子體的相互作用). 可計(jì)算機(jī)存在精度問題,會(huì)保留到一定位數(shù),比如大數(shù)和小數(shù)就不能直接相加,會(huì)直接湮沒小數(shù)的信息. 但有些磁場(chǎng)比較復(fù)雜,無法找到一個(gè)解析式來表達(dá)，通過實(shí)驗(yàn)或者模擬得到磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，而后分析軌跡.

最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)方程是

描述一個(gè)粒子，需要用到六個(gè)坐標(biāo)，三個(gè)位置坐標(biāo)，三個(gè)速度坐標(biāo). 加速器物理，常使用縱向位置 作為自由變量，而非時(shí)間, 甚至坐在一個(gè)參考粒子上，觀察整個(gè)粒子團(tuán)，此時(shí)的六個(gè)坐標(biāo)是：兩個(gè)橫向位置，兩個(gè)橫向傾角， 到達(dá)參考粒子位置處的時(shí)間差，能量偏離.

二極磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)，四極磁場(chǎng)聚散焦，六極磁場(chǎng)消四極磁場(chǎng)引入的色散，八極磁場(chǎng)可以讓束流均勻化等等. 保留到三階，運(yùn)動(dòng)方程為，詳情見Helmut Wiedemann. Particle accelerator physics. Springer Nature, 2015.：

2.利用傳輸矩陣，不光考慮一階線性傳輸矩陣，還可以有高階傳輸矩陣，這里面有Lie代數(shù)、微分代數(shù)、微擾法等,前提是加速器元件的磁場(chǎng)是已知的,有一個(gè)解析表達(dá)式.程序例如COSY Infinity等. 其實(shí)步驟差不多, 要抓住問題的主要矛盾，依次考慮各階次要矛盾, 簡(jiǎn)單說明一下微分代數(shù)法和微擾法.

微分代數(shù)法：微分代數(shù)是計(jì)算機(jī)數(shù)值分析領(lǐng)域中的一個(gè)非常有效的新方法，它以非標(biāo)準(zhǔn)分析理論為基礎(chǔ)，可以方便地實(shí)現(xiàn)任意高階微分的運(yùn)算。利用微分代數(shù)擴(kuò)展數(shù)的映射關(guān)系，可以非常有效地處理一些困難的非線性動(dòng)力學(xué)問題，包括電子光學(xué)的高階像差問題。但是，已有的研究限于電子光學(xué)系統(tǒng)的電磁場(chǎng)具有解析表達(dá)式的情形。計(jì)算的復(fù)雜程度完全不依賴所研究的像差階數(shù)的高低，并且數(shù)值計(jì)算結(jié)果沒有截?cái)嗾`差，計(jì)算精度僅受限與機(jī)器精度。

個(gè)人理解就是不單算了函數(shù)值，還傳遞了導(dǎo)數(shù)信息。介紹一下微分代數(shù)的規(guī)則，并通過一個(gè)簡(jiǎn)單例子(一個(gè)自變量，只考慮它的一階導(dǎo)數(shù))說明，詳情可見M. Berz, K. Makino, and W. Wan. An Introduction to Beam Physics. Series in High Energy Physics, Cosmology and Gravitation. Taylor & Francis, 2014. 定義一個(gè)矢量空間，它里面的運(yùn)算規(guī)則是：

對(duì)于一個(gè)函數(shù)， ，易得，而如果用了上面那套規(guī)定，則有 (初始值是2，f(x)關(guān)于x的一階導(dǎo)數(shù)是1，所以代入(2,1)).

束流動(dòng)力學(xué)，如果傳輸系統(tǒng)固定了，束線位置 上的粒子坐標(biāo) 就是初始入射坐標(biāo) 的函數(shù)，使用了微分代數(shù)算法，還可以得到 等信息，其實(shí)這就是傳輸矩陣的系數(shù)(當(dāng)然這暗含著，如果開始入射，參考粒子在中心處 粒子，在后來的位置處仍舊以它為中心 ). MSU出了一個(gè)code，叫Cosy Infinity.

微擾法：

微擾法求解下面這個(gè)方程：

這個(gè)方程的兩個(gè)通解分別是 (類余弦函數(shù))、 (類正弦函數(shù))：針對(duì) ， 代表初始位置為1，初始傾角為0； 代表初始位置為0，初始傾角為1。

先考慮 不依賴 的情況 ，特解由格林函數(shù)積分給出，有準(zhǔn)確的形式：

如果 函數(shù)中含有 或者 ，在傍軸近似條件下，方程的解仍可近似表示為上式，這就是微擾的意義:

喜歡的一個(gè)女生已經(jīng)好幾天沒理我，太難過了，剩下的以后慢慢完善吧.