有一個無窮序列：  如果所有前n項之和Sn滿足：   說明這個無窮級數是收斂的，不滿足這個性質的級數是發散的。級數的收斂性是一個很重要

有一個無窮序列：

如果所有前n項之和Sn滿足：

說明這個無窮級數是收斂的，不滿足這個性質的級數是發散的。級數的收斂性是一個很重要的性質，如果級數收斂，那么在可接受的精度下，只需要寫出前n項就可以近似表示該數列，而高等函數一般可以展開成一個無限的級數，一般物理所使用的展開就近似到前一項到前兩項，后續也主要考慮如何判定一個級數是收斂的。

一個很經典的例子，調和級數：

這個級數是發散的。

柯西判別法

若正項級數

自某項起，其一般項滿足不等式

q不依賴于n，這個級數是收斂的

達朗貝爾判別法

若級數自某項起滿足：

q不依賴于n，這個級數是收斂的

級數 是收斂的,因為：

有時候，上述判別法無法判斷級數是否收斂，因此需引入下述判別法

枯莫爾判別法

設有正項級數

若可以構造一個這樣的正項級數

使得

a是不依賴于n的正數，則級數收斂。

高斯判別法

設有正項級數

比 可以表示成

其中 時級數收斂。

絕對收斂級數

若級數 收斂，則稱級數 絕對收斂。

由級數的收斂性質，可以得到很有用的泰勒公式

考慮f(x)自變量有一個增量h，可以用h的多項式表示，這個概念不是那么直觀也比較重要，做如下闡述，如果h是無窮小量，那么f'(x)*h就與f(x+h)-f(x)相差一個h的高級無窮小量，現在增加h，在一定的精度可接受范圍內，h的一次函數就滿足了擬合的需求；繼續增加h，這時函數的的差值就出現了偏差，我們可以在中間插入f(x+h/2)修正擬合效果，換算成h的形式就出現了三個未知數，擬合就出現了h平方項，這個修正值可以使得擬合達到所需的精度要求；隨著h繼續增大，可以利用類似的方法進行進一步修正，也就是f(x+h)-f(x)可以插入任意多個點做線性擬合，也就是展開成h的多項式表達。

現做代換，x=a,x+h=x:

當x=a時， ，對上式兩邊求導，繼續帶入x=a，得：

以此類推，f(x)在a點得展開為：

如果要進行誤差估計，上式還需要增加一個余項：

上面就是泰勒公式。如果h是一個無窮小量，現可以寫出 的泰勒展開形式：

當自變量a取為0時，泰勒公式可以寫成：

這叫麥克勞林公式，利用麥克勞林公式，可以得到一些常用函數的展開形式：

之前已經說過，物理學上利用麥克勞林展開一般用到1-2項，一些常用的展開羅列如下：

下面舉例說明泰勒展開的應用，求：

超越幾何級數

上述級數的展開有些有共同的規律，為此，數學家發展了一種級數形式叫超越幾何級數

利用高斯判別法，可知

時，F收斂；x=1時，當 時，F絕對收斂；x=-1時，當 時，F絕對收斂，且當 時，F收斂。

那么