0.abc猜想互質的正整數a，b，c滿足：a+b=c，用rad（x）表示正整數x的所有不相同的素因子之積，rad（1）=1。那么猜想：①c=rad（abc）是特例；②c<rad（abc）是普

0.abc猜想

互質的正整數a，b，c滿足：a+b=c，用rad（x）表示正整數x的所有不相同的素因子之積，rad（1）=1。那么猜想：①c=rad（abc）是特例；②c<rad（abc）是普遍的，是無限多的；③c>rad（abc）是反例，是有限的。

數學語言，對于任意實數r>0，總存在一個常K（r），若a，b，c互質，a+b=c，那么就有c<K（r）rad（abc）^（1+r）。

abc猜想總想說對于a+b=c，按某種條件，總能保證c<rad（abc）成立。

1.abc猜想和哥德巴赫猜想一樣，是一個整除的分類問題，應該是一個無聊的猜想。哥德巴赫猜想在本貼中己經失去了它神秘的面紗，原來它是一個高中學生可以做的數學題。喧染它們如何如何的“數論明珠"，實無意義。

2.分類與分析

正整除要么是偶數要么是奇數。1不是素數。素數只有自身一個素因子。奇合數至少含二個素因子（二個素因子可以相同）。

c非偶數即奇。正整數c的二位分拆個數是[c/2]。[R]表正數R的整數部分。如2=1+1；3=1+2；4=1+3=2+2；5=1+4=2+3等。

2=1+1，唯一的有：c=rad（2×1×1）=2.

當c（c>2）為素數時，3=1+2，5=1+4=2+3，因為，對于a+b=c，c>2，則ab>1，所以，rad（abc）>c。

當c是偶數時（c>2），且偶數=素數+素數（哥德巴赫猜想回答了它是存在的），即對于c=a+b，因為，a和b都是素數（a≠b），a×b>c，所以，rad（abc）>2ab>c。

如果有偶數=偶數+偶數，給兩邊同時除以2或若干個2，總能把它化為

偶數=1+素數；或者偶數=1+奇合數；或者，偶數=素數+奇合數；或者，偶數=素數+素數；或者，偶數=奇合數+奇合數；或者，奇數=1+偶數；或者，奇數=素數+偶數；或者，奇數=奇合數+偶數。

①命題1，當c=2^n，a=1，b=c-1時，若PXP整除b（素數P>2），那么，rad（abc）=rad（2xP×b/p×p）≤2×P×b/p×p=2b/P<c。

例1，C=2^6n（表2的6n次方，n為正整數），a=1，b=c-1。則9整除b。有rad（abc）<c。

例2，若c=2^n，a=1，b=c-1。當n=20K（k=1，2，…，∞）時，25整除b。則有rad（abc）<c。

例3，若c=2^n，a=1，b=c-1。當n=21K（k=0，1，2，…，∞）時，49整除b。則有rad（abc）<c。

②命題2，當c=6^n時，a=1，P>6為素數，且P×P整除b。對于a+b=c，則有，rad（abc）=rad（1×2×3×P×b/p×p）<6b/P<c。

例1，已知，c=6^14n，b=c-1，a=1，則49整除b。得rad（abc）<c。

一般地，總存在正整數n，使c=q^n，a=1，b=c-1，P×P（素數P>q）整除b。則有，rad（abc）<c成立。（可證它是成立的命題）

綜上，這種c（偶數）=a（1）+b（奇合數）或c（奇數）=a（1）+b（偶數），滿足：rad（abc）<c是無窮的。所以，abc猜想給出c與rad（abc）大小的判斷，誰大于誰的問題是等價的。這是abc猜想的無聊之處。

我們還可以由

③命題3，總存在正整數n，使c=2^n，a=3，b=c-3，P×P（素數P>6）整除b。則有，rad（abc）<c成立。（可證它是成立的命題）

例1，如c=128（2的7次方），a=3，b=125（5的3次方），rad（3×125×128）=rad（2×3×5）=60<c。一般地，c=2^（7+100k），a=3，125整除b，所以，有rad（abc）=rad（6×5b/125）≤6b/25<c。K=0，1，…，∞。

④命題4：總存在n，使P×P整除b（素數P>3）；對于a+b=c，a=1，c=3^n，則有，rad（abc）<c成立。（可證它是成立的命題）

例1，c=3^20k（正整數k→∞），a=1，b=c-1。且25整除b，有rad（abc）<c。

例2，c=3^36k，a=1，b=c-1，且49整除b，有rad（abc）<c。

例3，c=3^29，a=5，則，343（7的立方）整除b，a+b=c，所以，rad（abc）≤15b/49<c。

例4，c=3^n，a=5，存在17^m（m>1）整除b，m=？

有rad（abc）≤15b/17<c。

綜上，對于a+b=c，a=r，c=q^n，總存在n，使P×P整除b，那么，有rad（abc）<c。其中，r，q，P均為素數，且rq<P。（這是可證的正確命題）

總之，對于a+b=c，有無數多rad（abc）<c存在，也有無數多的rad（abc）>c存在。它們是等價的。象猜測在正整數數集中是偶數多還是奇數多一樣，都是無聊的。但是，它的結論卻很有用，如

求方程2^x=3^y+1的整數解。

已知，a+b=c，有rad（abc）>c。因為，方程rad（3^y×2^x）=rad（2×3）=6>2^x。所以，限制了x的上限，經驗證，僅有x=2，y=1，一組解。

abc猜想的應用總結如下：

①若a，b，c互質，a+b=c，當rad（ac）<P，且P×P整除b，或rad（bc）<P，且P×P整除a時，或rad（ab）<c/rad（c）時，則rad（abc）<c。

②若a，b，c互質，a+b=c，當rad（ab）>c/rad（c）或rad（c）=c時，則rad（abc）>c。