本人剛剛入門，在經過范疇論的一番折磨之后，決定寫一些心得。以下全部都是個人經驗，幾乎沒有任何證據。首先總結一下范疇論的目的，這個

本人剛剛入門，在經過范疇論的一番折磨之后，決定寫一些心得。以下全部都是個人經驗，幾乎沒有任何證據。

首先總結一下范疇論的目的，這個語言的好處（再次強調都是個人見解）。范疇論的目的是找到想要的箭頭，語言的好處在于，熟悉游戲規則的人可以完全脫離“集合論”式的思考方式，把一切心思都放在“點（object）”和“箭頭（morphism）”的引入上。范疇論的推理過程就是根據規則逐步畫圖。

范疇論定義一個概念，或者指定具有某種的對象，或者建立本體論，的方式是用“萬有性質（universal properties）”。萬有性質是引入新的箭頭的重要來源，萬有性質往往不保證存在性，但保證唯一性。用萬有性質引入的箭頭被認為是典則的（canonical）。萬有性質如何記憶？似乎有如下規律：萬有性質永遠都在告訴我們如何“實現”需要的箭頭。比如加性范疇中 的kernel是 是零映射，萬有性質應該是 如果是零映射的話，會怎么怎么樣。那么我們需要的箭頭是 ，如何實現呢？查看下圖

很明顯，我們只能按照下圖的方式實現出 ：

這就幫我們記住了萬有性質的箭頭的方向。類似地，諸如direct product等等對象的萬有性質，似乎都符合這個規律。Again，不要用集合論的方式記憶！集合論可能會說： 要最終打到0，其打到 中的元素必然都落在 里，但如此思考最終會帶來非常巨大的思考量，導致極大的困難。

范疇論定義箭頭的性質，比如單、滿、雙、同構等等，是用新的點和箭頭，并聲明一些邏輯條件定義的；我們強調不要用“元素”等集合論的觀念思考，否則極容易陷入先入為主的困境。

在一張圖中，新的“點”往往是用萬有性質定義的對象，比如kernel，cokernel，image，coimage等等。

為了展示“逐步畫交換圖”的過程，我們來舉一個例子（讀者可以跟著下述步驟一起畫）：我們希望在加性范疇中找到某個morphism的coimage到image的典則映射，范疇論是如何思考的呢？首先畫出下圖

回憶image要“掛在 上”，而 一開始只能指出一個cokernel，因此image應該要指向 ，也就是cokernel的kernel，所以我們應該畫（括號內的事物可以不用畫）

同樣的，coimage應該掛在 上， 一開始只能指進來一個kernel，因此coimage應該從 指出去，作為kernel的cokernel，也就是

現在一共有

現在需要找到 ，而且只能用范疇論的公理，我們應該回憶image是cokernel的kernel，特別地，它是一個kernel；kernel的萬有性質（在旁邊拿出草稿紙回憶一下）是blabla，并畫出

萬有性質給出了指向kernel的箭頭，因此我們只需指出 到 有一個箭頭，且滿足和cokernel符合是0。那么如何找 到 的箭頭呢？回憶coimage是kernel的cokernel，cokernel的萬有性質是blabla；萬有性質應該幫助我們實現 ，因此我們有一個coimage到 的箭頭。那么這個箭頭為什么最終和 復合為0呢？因為 是一個滿態射，我們有一個重要的常見結構：如果 是滿的， ，那么 ；這是因為加性范疇保證了0態射總是存在，考慮 是0態射，我們可以平凡地有 是零態射，因此滿態射公理保證了箭頭 是0。