習題1.2（P4）答：三個范疇： ：{ 代數簇  ，多項式映射  }； ：{ 有限生成既約 k-代數  ，k-代數同態  }；{ 概率空間  ,可測映射  }.三個協變：張量積：

習題1.2（P4）

答：

三個范疇：

• ：{ 代數簇 ，多項式映射 }；
• ：{ 有限生成既約 k-代數 ，k-代數同態 }；
• { 概率空間 ,可測映射 }.

三個協變：

• 張量積：若 為在一固定體上的向量空間的范疇且其態射為線性映射，則張量積 可定義出一個函子 ，其中兩個引數都是協變的；
• 切叢：切映射函子 ;
• 誘導從： ，其中 為流形， 為流形間的連續映射， 是以 為底的向量叢.

三個反變：

• 余切叢拉回函子： ；
• ，其中 ;
• ，既是協變函子，又是反變函子.

習題1.3（P4）

證：由書上例 1.5可知 { 空間，映射同倫類 } 是一范疇，下面只需逐條驗證協變函子的定義：

• 對于給定的 ，由范疇的定義，有 ， ，由態射的復合規則以及同倫的性質可知： ，即
  ;
• 由上分析可知：
  
• 復合律：
  設
  
  
  
  
  
  
• 單位律：
  
  
  

綜上， 為協變函子.

習題2.1（P8）

命題2.4：鏈映射之間的鏈同倫是等價關系.

證：逐條驗證：

• 自反性： ，設
  
  令 ，其中 是一個典范同構，并且有：
  
  于是對所有 成立:
  
  
  
  .
• 對稱性：設鏈映射 與 鏈同倫： ，即滿足
  
  令 ，帶入上式得
  .
• 傳遞性：設 滿足，
  
  
  兩式疊加，由同態的性質有
  
  故 .

習題2.3（P8）

鏈同倫是鏈復形之間的等價關系.

證：逐條驗證：

• 自反性：因自同構 滿足
  .
• 對稱性：由鏈復形鏈同倫的定義的對偶性，立即得證.
• 傳遞性：設下列三個鏈復形滿足
  
  與 為鏈同倫等價，由定義存在 與 滿足
  
  又由同態復合映射 滿足
  
  

綜上，鏈同倫是鏈復形之間的等價關系.